단순조화진동자 (Simple Harmonic Oscillator)

우리 생활 속의 많은 물리현상들은 주기적으로 일어난다. 일정한 시간마다 같은 상태로 돌아온다는 것이다. 틱, 톡, 틱, 톡, 하며 좌우로 흔들리는 괘종시계 아래에 매달린 추의 진자 운동이 대표적이다. 더 크게 본다면, 달은 1달을 주기로 지구 주위를 돌고, 지구는 1년을 주기로 태양 주위를 돌고 있는 것도 주기적인 현상이다. 이러한 현상들 중 가장 간단한 것이 (이름에서 알 수 있듯) 단순조화진동, 또는 짧게 단진동이다.

용수철에 매달린 물체의 단진동

생각해 볼 수 있는 가장 간단한 단진동의 예시는 용수철(스프링) 끝에 달아놓은 물체의 움직임이다. 가만히 놓아두면 아무런 일도 일어나지 않겠지만, 물체를 살짝 잡아당겼다 놓으면 용수철이 물체를 끌고 압축된다. 그리면 압축된 스프링이 이번에는 물체를 밀고, 용수철은 또 늘어난다. 이렇게 반복되는 운동을 계속하는 것이다. (물론 실제로는 마찰력이나 공기 저항 때문에 무한히 오래 지속되지는 않는다. 이러한 실제를 고려하는 경우에 대해서는 감쇠조화진동자 포스트를 참고하자.)

이 상황을 설명해 보자. 우선, 물체의 질량은 \(m\)이라 하고, 용수철 상수는 \(k\)라고 하자. 용수철의 질량, 그리고 각종 외부의 힘은 무시하자. 물체가 원래 가만히 있던 위치를 0, 용수철이 늘어나는 방향을 \(+x\)방향으로 놓자. 운동 방정식을 세우면, \[m \ddot x = -kx\] \[m \ddot x + kx = 0 \] \[\ddot x + \frac{k}{m} x = 0\]

\(\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\)의 상수를 도입하면, \[\ddot x + (\omega_0)^2 x = 0\] 시간에 대해 두번 미분해서 자기 자신과 같은 꼴이고, 부호는 달라야 하니 상수 $A$에 대해 \[x=A\cos( \omega t\ + \phi_0)\]로 치환해 보자. 그러면 \[\ddot x = -A\omega^2 \cos (\omega t + \phi_0)\]이므로, \(\omega = \omega_0\)으로 놓으면 등식이 성립한다.

잠깐, 아직 상수 두 개가 해결되지 않았다. \(x\)를 치환할 때 \(\phi_0\)을 도입했지 않았는가? 그러면 \(t=0\)일 때의 초기조건이 \(x=x_0, \dot x = v_0\)으로 주어진다고 가정하고, 대입해 보자. 그러면, \[x_0=A\cos\phi_0\] \[v_0=-A\omega_0 \sin\phi_0\] 이고, 아래의 식을 위의 식으로 나누면, \[\frac{v_0}{x_0} = - \omega_0 \tan\phi_0 \] \[\phi_0 = -\tan^{-1} \frac{v_0}{\omega_0 x_0}\]를 얻을 수 있다.

또한, $t=0$일 때로부터, $x_0 = A \cos(\phi_0)$이므로, $$A=\frac{x_0}{\cos \phi_0}$$임을 얻을 수 있다.

임의의 초기 조건에 대해 위와 같이 상수들을 결정하여 시간에 따른 물체의 위치 그래프를 그리면 위와 같다. (src) 주기적으로 같은 형태의 운동이 반복됨을 확인할 수 있다.

And more...

꼭 용수철이 아니더라도, 평형점에서의 거리에 비례하고 방향이 반대인 힘이 작용하는 상황이라면 물체는 단진동하게 된다.

그리고 재미있는 점으로, \(xy\) 평면에서 등속 원운동하는 물체의 \(x\)좌표와 위에서 유도한 \(x(t)\)가 같은 형태이다. '단진동은 원운동의 그림자'라는 말을 들어본 적이 있지 않는가? (참고로 원점을 중심으로 등속 원운동하는 물체의 좌표는 \[\begin{cases}x = \cos (\omega t + \phi_0) \\ y = \sin (\omega t + \phi_0 )\end{cases}\] (\(\omega, \phi_0\)는 상수)로 표현할 수 있다.) 물체에 작용하는 힘의 \(x\)방향 성분을 생각해보면 간단하다. 등속 원운동을 하기 위해서는 중심 방향으로 일정한 크기 \(F\)의 힘이 가해져야 한다. 반지름 \(R\)인 원을 그리는 운동을 한다고 하면, 힘의 \(x\)방향 성분의 크기는 \[F_x = F\frac{x}{R}\]임을 쉽게 구할 수 있다. 즉, \(x\)방향으로 작용하는 힘의 크기는 \(x\)에 비례한다. 그리고 힘의 방향은 원점을 향하므로, 단진동과 같이 보이게 되는 것이다.

우리가 구한 식에서 $A=\frac{x_0}{\cos \phi_0}$는 사실 모든 경우에 적용되지 않는다. 물체의 초기 위치가 $x_0=0$인 경우, 분모와 분자가 모두 0이 되어 $A$를 결정할 수 없다. 이러한 경우, $v_0$로부터 $A$를 비슷한 방법으로 결정할 수 있다. 하지만 우리는 일반적으로 용수철에 매달린 물체를 당기거나 밀었다가 놓아서 단진동을 시작시킨다. 즉, $x_0 \neq 0$인 경우가 보다 일반적이므로, $x_0=0$인 경우에 대한 유도는 생략한다.