감쇠조화진동자 (Damped Harmonic Oscillator): (1) Weak Damping

단순조화진동 실험을 실제로 한다고 하자. 어떤 결과가 나올까? 여러 가지 오차가 있겠지만, 가장 큰 오차는 언젠가 물체가 정지한다는 것이다. 마찰과 공기 저항으로 인해 운동 에너지를 계속해서 잃기 때문이다. 반면, 이상적인 단순조화진동은 단순히 삼각함수로 표현되기 때문에, 계속해서 주기운동을 해야 한다. 그러므로, 우리는 물체의 운동을 거스르는 힘이 작용할 때의 경우를 풀어야 할 필요가 있다. 이러한 경우를 감쇠진동(Damped Oscillation)이라고 한다. 

공기 저항을 받는 물체의 진동

우리는 마찰력 대신, 공기 저항만을 고려할 것이다. 천장에 한쪽 끝이 고정된 스프링 아래에 질량을 가진 물체를 매달아 위아래로 진동하는 경우와 같다. 이 때, 공기 저항의 크기는 얼마일까? 확실한 것은, 물체가 이동하는 방향과 반대이고, 물체가 빠르게 이동할 수록 더 큰 저항을 받는다는 것이다. 따라서, 그리 크지 않은 속도 \(v\)로 움직이고 있는 물체에 작용하는 공기 저항의 크기는 \(-cv \)로 근사할 수 있을 것이다. 그 외의 조건은 단순조화진동과 동일하게 주어진다고 가정하자.

이제 운동 방정식을 세우자. 이전에 단순조화진동에 대해 세운 운동 방정식에 저항에 대한 항을 추가하면 끝이다. \[m\ddot{x} = - kx - c\dot{x}\] \[m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0\] \[x + \frac{c}{m}\dot{x} + \frac{k}{m} = 0\] 계수들을 표현하기 위해, \[\gamma=\frac{c}{2m}, \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\]의 상수들을 도입하자. 그러면, 방정식은 \[\ddot{x} + 2\gamma \dot{x} + \omega_0^2 x = 0\] 으로 표현된다.

우선 해가 \[x=Ae^{\omega t}\] 꼴로 표현된다고 가정하자. (필자도 이런 가정은 별로 마음에 들어하지 않지만, 미분방정식에 대한 지식은 별로 없어 더 명쾌한 설명은 무리이다.) 미분하면, \[\dot{x} = A\omega e^{\omega t}\] \[\ddot{x} = A\omega^2 e^{\omega t}\]를 얻는다. 이를 운동방정식에 대입하면, \[A\omega^2 e^{\omega t} + 2\gamma A\omega e^{\omega t} + \omega_0^2 Ae^{\omega t} = (\omega^2 + 2\gamma\omega + \omega_0^2)Ae^{\omega t} = 0\] \(Ae^{\omega t}\)는 0이 아니므로, \(\omega\)에 대한 이차 방정식 \[\omega^2 + 2\gamma \omega + \omega_0^2=0\]를 풀면 된다. 판별식 \[\frac{D}{4}=\gamma^2-\omega_0^2\]의 값에 따라 경우를 나눌 수 있는데, 이 글에서는 \(\frac{D}{4}<0\)인 경우를 다룰 것이다. 즉, \(\omega_0\)가 \(\gamma\)보다 큰 경우이다. damping을 결정한는 \(c\)가 클 수록 \(\gamma\)가 커지기 때문에, 이 경우는 다른 경우에 비해 damping이 작다고 할 수 있다. 그래서 이런 경우를 weakly damped 또는 underdamped라 한다.

방정식은 2개의 서로 다른 허근을 가진다. \[\omega=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}=-\gamma\pm i\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\] 2가지 \(\omega\)의 값 중 어느 것을 취하여도 운동 방정식은 성립한다. 그리고 방정식이 \(x\)와 그 도함수들에 상수를 곱한 항들의 합으로만 이루어져 있기 때문에, 2가지 \(\omega\)값을 넣어 나온 \(x\)를 더한 경우에도 성립한다. 2가지 \(\omega\)값을 넣었을 때의 운동 2가지가 중첩되어 있는 것으로 생각할 수도 있다.

초기 조건으로 결정되는 상수 \(A_1, A_2\)와 \(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}\)을 도입하면 \(x\)는 아래와 같이 표현된다. \[x=A_1 e^{(-\gamma+i\omega_d)t}+A_2 e^{(-\gamma-i\omega_d)t}=e^{-\gamma t}(A_1 e^{i\omega_d t}+A_2 e^{-i\omega_d t})\] 위치와 속도가 허수일 수는 없다는 점을 이용하면, \(A_1\)과 \(A_2\)의 관계를 알아낼 수 있다. 유명한 오일러의 등식을 사용하자. (\(e^{ix}=\cos x + i\sin x\)) 그러면, \[A_1 e^{i\omega_d t}+A_2 e^{-i\omega_d t} = A_1(\cos \omega_d t + i\sin \omega_d t ) + A_2(\cos \omega_d t -i\sin \omega_d t)\]가 실수여야 한다. \(t=0\)인 경우를 생각하면, \(A_1+A_2\)가 실수여야 한다는 결론을 얻는다. 그리고 \(t=\frac{\pi}{2\omega_d}\)인 경우를 생각하면, \(A_1-A_2\)가 순허수(\(i\)의 실수배)여야 한다는 결론을 얻는다. 이를 만족하는 \(A_1, A_2\)는 실수부는 같고 허수부의 부호만 반대인, 켤레복소수이다. \(A_1\)의 실수부를 \(\alpha\), 허수부를 \(\beta\)라고 하여 \(x\)에 대입하고, 오일러의 등식을 사용하면, \[x=2e^{-\gamma t} (\alpha \cos \omega_d t - \beta \sin \omega_d t) \\ = 2e^{-\gamma t} \sqrt{\alpha^2 + \beta^2} \cos(\omega_d t + \phi_0)\] (\(\phi_0 = \tan^{-1} \frac{\alpha}{\beta}\))로 표현된다. \(A_0 = 2\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}\)으로 놓으면, \[x=A_0 e^{-\gamma t} \cos (\omega_d t + \phi_0)\]이다.

이제 결정되지 않은 상수들을 초기 조건으로부터 결정하자. 우리가 계산의 편의를 위해 중간에 도입했던 상수들 대신, 최종적으로 식에 남은 (\(A_0\)과 \(\phi_0\)를 초기 조건으로부터 결정하자. \(t=0\)일 때, 초기 위치를 \(x_0\)라고 하면, \[x_0 = A_0 \cos \phi_0\]이고, 초기 속도를 \(v_0\)이라고 하면, \[\dot x = A_0 e^{-\gamma t} \{-\gamma  \cos (\omega_d t + \phi_0) -  \omega \sin (\omega_d t + \phi_0)\}\]로부터, \[v_0 =-A_0 (\gamma  \cos \phi_0 + \omega_d \sin \phi_0) \\ = -x_0 (\gamma  + \omega_d \tan \phi_0)  \] \[\tan \phi_0 = -\frac{1}{\omega_d}(\gamma + \frac{v_0}{x_0})\] \[A_0 = \frac{x_0}{\cos \phi_0} = x_0 \sqrt{1 + \frac{1}{\omega_d^2}(\gamma + \frac{v_0}{x_0})^2}\] 이로써 우리는 약한 damping이 있는 damped harmonic oscillator의 운동을 설명할 수 있게 되었다.

해석

우리가 최종적으로 얻어낸 물체의 위치에 대한 식을 보자. 놀랍게도, damping이 없는 경우를 나타내는 식과의 차이는 \(e^{-\gamma t}\) 뿐이다. \(e^{-\gamma t}\)는 \(t\)가 증가할수록 감소하기 때문에, 이는 시간이 지날수록 진폭이 작아지게 하는 역할을 한다. 우리가 일상 속에서 보는 현상과 일치하는 부분이다.

우리가 얻어낸 식으로부터 시간에 대한 위치의 그래프를 그리면 위와 같다. (src) 이해를 돕기 위해, \(\cos\) 부분을 제외한 진폭에 해당하는 그래프도 함께 그려두었다.